کاوش موضوع روش نیوتن
صفحه اصلی
روش نیوتن
در آنالیز عددی روش نیوتن، که همچنین به عنوان روش نیوتن-رافسون (به انگلیسی: Newton-Raphson method) نیز شناخته می‌شود الگوریتم ریشه یابی است که تقریب‌های خوبی در نزدیکی ریشه یک تابع (صفرهای یک تابع) می‌زند. در پایه ای‌ترین حالت، الگوریتم نیوتن برای یک تابعی چون
f
{\displaystyle f\,}
با متغیر
x
{\displaystyle x\,}
و با مشتق
f
′
{\displaystyle {f'}\,}
به همراه حدس اولیه
x
0
{\displaystyle x_{0}\,}
بکار می‌رود. اگر تابع حدس کافی و دقیقی را برآورد سازد و همچنین حدس اولیه نزدیک به ریشه تابع مفروض باشد (که با همگرایی تقریب‌ها این موضوع روشن می‌شود) آنگاه
x
1
{\displaystyle x_{1}\ \,}
تقریب بهتری نسبت به
x
0
{\displaystyle x_{0}\,}
به حساب می‌آید. چرا که با احتساب همگرایی جواب‌ها، هر تقریب نسبت به تقریب قبل از خودش از دقت بالاتری برخوردار بوده و به ریشه تابع نزدیک تر است. به لحاظ هندسی
(
x
1
,
0
)
{\displaystyle {(x_{1},0)}\,}
نقطه ای است که محور
x
{\displaystyle {x}\,}
و خط مماس تابع
f
{\displaystyle {f}\,}
در نقطهٔ
(
x
0
,
f
(
x
0
)
)
{\displaystyle {(x_{0},f(x_{0}))}\,}
یکدیگر را قطع می‌کنند. شکل عمومی الگوریتم نیوتن به شرح زیر می‌باشد:
x
1
=
x
0
−
f
(
x
0
)
f
′
(
x
0
)
{\displaystyle x_{1}=x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}\,}
که در اصل از رابطه
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
+
f
′
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
1
!
{\displaystyle f(x)=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})(x-x_{0})}{1!}}}
بدست آمده است. می‌دانیم که در نقطهٔ برخورد تابع با محور
x
{\displaystyle {x}\,}
مقدار تابع صفر خواهد بود لذا
0
=
f
(
x
0
)
+
f
′
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
1
!
{\displaystyle 0=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})(x-x_{0})}{1!}}}
که در آخر با تقسیم بر
f
′
(
x
0
)
{\displaystyle {f'(x_{0})}}
می‌توان رابطه را به فرم رو به رو بازنویسی کرد:
x
1
=
x
0
−
f
(
x
0
)
f
′
(
x
0
)
{\displaystyle x_{1}=x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}\,}
همان‌طور که مشهود است روش نیوتن-رافسون از سری تیلور ناقص تابع مفروض به عنوان یک تقریب خطی حول نقطهٔ حدس اولیه
x
0
{\displaystyle x_{0}\,}
بهره می‌برد و از این جهت تقریب را ناقص می‌گویند که نیازی به نوشتن سری تابع تا مراتب بالاتر نبوده و به همان دو جمله ابتدایی بسنده می‌کند که این موضوع نیز دلیلی بر تقریب خطی بودن روش نیوتن می‌باشد. همچنین چون این روش معادلهٔ یک تابع را تا معادلهٔ یک تابع درجه یک تقیل می‌دهد، لذا صرف نظر از اینکه تابع چند ریشه دارد، در نهایت الگوریتم تنها یک جواب بدست می‌آورد.
این روش همچنین می‌تواند در توابع مختلط و دستگاه معادلات بکار رود.... بیشتر در ویکی پدیا
